Weak Topology

释义 Definition

弱拓扑：在泛函分析与拓扑学中，一种由一族函数（常见为连续线性泛函）“生成”的拓扑；它通常比“范数拓扑/强拓扑”更弱（开集更少），使得“在所有测试泛函下收敛”成为拓扑意义下的收敛。最常见的是：在赋范线性空间 \(X\) 上由对偶空间 \(X^\*\) 中所有泛函诱导的拓扑（记作 \(\sigma(X, X^\*)\)）。

发音 Pronunciation

/wiːk təˈpɑːlədʒi/

例句 Examples

A bounded sequence may converge in the weak topology even if it does not converge in norm.
一个有界序列即使不按范数收敛，也可能在弱拓扑下收敛。

In a Hilbert space, weak topology is often used to extract convergent subsequences via compactness results such as Banach–Alaoglu and weak lower semicontinuity arguments.
在希尔伯特空间中，弱拓扑常用于借助巴拿赫–阿劳格鲁定理等紧性结果与弱下半连续性论证来抽取收敛子列。

词源 Etymology

“weak（弱的）”在这里不是“能力弱”，而是指拓扑的强弱比较：若一个拓扑的开集更少、要求更宽松，就称它“更弱”。“topology（拓扑）”源于希腊语词根 topos（地方）+ -logy（学科），表示研究“空间结构与连续性”的数学分支。因此 weak topology 字面即“较弱的拓扑结构”，常用来刻画“对所有线性泛函而言的收敛”。

相关词 Related Words

• Banach Space
• Dual Space
• Functional
• Hilbert Space
• Norm Topology
• Strong Topology
• Weak Convergence
• Weak-* Topology

文献作品 Notable Works

• Functional Analysis — Walter Rudin
• Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations — Haim Brezis
• Introductory Functional Analysis with Applications — Erwin Kreyszig
• A Course in Functional Analysis — John B. Conway
• Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels — François Trèves